Ukuran Pemusatan Dan Simpangan

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah S.W.T Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan rahmat dan karunia-Nya sehingga makalah STATISTIKA(Ukuran Pemusatan dan Simpangan) dapat diselesaikan.

Pada kesempatan ini, kami tidak lupa menyampaikan rasa terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu kami selama penyusunan makalah ini.

Dengan penuh kesadaran bahwa tak ada gading yang tak retak, maka makalah ini pun tidak luput dari segala kesalahan, kekurangan dan sangat jauh dari kesempurnaan. Segala kritik dan saran dari pembaca yang sifatnnya memperbaiki, menyempurnakan dan mengembangkan makalah ini sangat kami harapkan.

Akhirnya kami berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi kita pada umumnya dan bagi kami khususnya.

                                                                                              Penulis

DAFTAR ISI

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1   Latar Belakang

        Di zaman modern seperti sekarang ini, para tokoh-tokoh intelek mulai bermunculan dimana-mana. Ada yang bergerak dalam dunia science dan ada pula yang bergerak dalam ilmu social.

        Biasanya seorang ilmuan baik itu scicnce maupun social menghabiskan waktunya untuk penelitian. Tentunya dalam melakukan penelitian ini nantinya akan diperoleh data yang berasal dari kumpulan datum yang mereka temukan di lapangan. Nantinya dari datum yang dikumpulkan ini, seorang ilmuan akan dapat mengambil kesimpulan dari apa yang sedang ditelitinya. Namun dalam hal ini, seorang ilmuan tidak serta merta dalam mengambil kesimpulan, mereka harus menggunakan ilmu tersendiri untk mengambil kesimpulan tersebut. Disinilah peran dari ilmu statistic.

        Ilmu statistik sangat berperan dalam suatu penelitian. Melalui pengolahan statistic inilah hasil dari suatu penelitian dapat di peroleh.

        Makalah ini akan menjelaskan sedikit konsep tentang statisik yang terkait dengan ukuran pemustan dan ukuran simpangan.

1.2   Rumusan Masalah

 Masalah yang akan diangkat pada makalah ini, antara lain:

1. Bagaimana memperoleh ukuran pemustan dari sebuah data berkelompok?
2. Bagaimana memperoleh ukuran simpangan dari sebuah data berkelompok?

1.3   Manfaat

Manfaat yang akan diharapkan dari makalah ini, antara lain:

1. Mengetahui cara memperoleh ukuran pemusatan dari data berkelompok yang ada.
2.  Mengetahui cara memperoleh ukuran simpangan dari data berkelompok yang ada.

BAB II

PEMBAHASAN

A.      RATA – RATA  ATAU RATA – RATA HITUNG

Jika dalam kumpulan data terdapat n buah nilai maka nilai – nilai data kuantitatif akan dinyatakan dengan x₁,x₂,x₃,…….,x_n.. Ukuran  sampel  menyatakan banyaknya data atau objek yang diteliti dalam sampel,disimbolkan n. ukuran populasi yakni banyaknya anggota yang terdapat dalam populasi,disimbolkan N.

Untuk data kelompok yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata – ratanya dihitung dengan rumus :

    =

Ket :       xi = tanda kelas interval

fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi

Contoh  : Berikut merupakan table data nilai ujian statistika 80 mahasiswa.

Nilai ujian	Frekuensi  (fi )	Tanda kelas ( xi )	Produk ( fixi )
31 – 40	1	35.5	35.5
41 - 50	2	45.5	91.0
51 – 60	5	55.5	277.5
61 – 70	15	65,5	982.5
71 – 80	25	75.5	1887.5
81 – 90	20	85.5	1710.0
91 - 100	12	95.5	1146.0
Jumlah	80	-	6130.0

 

Berdasarkan  data di atas diperoleh :

 = 80

  = 6130.0                                                                                                                                                                                                                                                                                        = ……?

 =

   =

  = 76.62

Jadi, rata – rata niali ujian statistika adalah 76.62.

   Dalam perhitungan di atas, diambil tanda kelas yaitu setengah dari  jumlah ujung atas dan ujung bawah sebagai wakil dari tiap kelas interval. Cara kedua untuk menghitung ra ta – rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi ialah dengan cara sandi atau cara singkat. Ambil salah satu tanda kelas, namakan x₀. Untuk nilai x₀ ini diberi nilai sandi c = 0. Tanda kelas yang lebih kecil dari x₀  berturut – turut diberi nilai sandi c = -1, c= -2 , c = -3 dan seterusnya. Begitu pula sebaliknya,tanda kelas yang lebih besar dari x₀ berturut – turut diberi nilai sandi c = +1, c =+2, c +3 dan seterusnya. Dengan demikian, jika p = panjang kelas interval yang sama besarnya, maka rata- rata dihitung dengan rumus :

  = x₀ + p

Dengan menggunakan data yang sama, kita perlu menyusun table berikut.

Nilai ujian	Frekuensi  (fi )	Tanda kelas ( xi )	ci	fici
31 – 40	1	35.5	-4	-4
41 - 50	2	45.5	-3	-6
51 – 60	5	55.5	-2	-10
61 – 70	15	65,5	-1	-15
71 – 80	25	75.5	0	0
81 – 90	20	85.5	1	20
91 - 100	12	95.5	2	24
Jumlah	80	-	-	9

Telah diambil x₀ = 75.5 dengan  nilai c = 0, sehingga ,

  = x₀ + p

  = 75.5 + 10

                   = 76.62

B.      RATA – RATA UKUR

Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, maka rata – rata ukur lebih baik dipakai daripada rata – rata hitung. Untuk data bernilai x₁,x₂,……,x_n  maka rata –rata ukur U didefinisikan sebagai :

U =

Namun untuk bilangan – bilangan besar, lebih baik digunakan logaritma.

log U =

yakni logaritma rata – rata ukur sama dengan jumlah logaritma tiap data dibagi oleh banyak data.

Untuk data yang telah disusun dalam daftar ditribusi frekuensi, rata – rata ukurnya dihitumh dengan rumus:

log U =

Contoh:

Nilai ujian	Frekuensi  (fi )	Tanda kelas ( xi )	logxi	fi logxi
31 – 40	1	35,5	1,5502	1,5502
41 - 50	2	45,5	1,6580	3,3160
51 – 60	5	55,5	1,7443	8,7215
61 – 70	15	65,5	1,8162	27,2430
71 – 80	25	75,5	1,8779	46,9475
81 – 90	20	85,5	1.9320	38,6400
91 - 100	12	95,5	1,9800	23,7600
Jumlah	80	-	-	150,1782

log U =

log U =

log U = 1,8772

      U = 75,37

Nilai ujian tersebut memiliki rata – rata ukur 75,37.

C.      RATA – RATA HARMONIK

Untuk data x₁, x₂,x₃,….,x_n dalam sebuah sampel berukuran n, maka rata – rata harmonic ditentukan oleh rumus :

H =

Atau

H =

Contohnya :

Rata – rata harmonic untuk kumpulan data 3,5,6,6,7,10,12, dengan n = 7 ialah

H =

H = 5,87

Untuk data dalam daftar ditribusi frekuensi, maka rata – rata harmonic dihitung dengan rumus:

H  =

Untuk mempermudah dalam menghitung nilai rata – rata harmonic,maka terlebih dahulu kita membuat table berikut dengan menggunakan data yang sebelumnya.

Nilai ujian	Frekuensi  (fi )	Tanda kelas ( xi )
31 – 40	1	35,5	0,0282
41 - 50	2	45,5	0,0440
51 – 60	5	55,5	0,0901
61 – 70	15	65,5	0,2290
71 – 80	25	75,5	0,3311
81 – 90	20	85,5	0,2339
91 - 100	12	95,5	0,1256
Jumlah	80	-	1,0819

Sehingga diperoleh,

H  =

H =

H = 73,94

Dengan demikian untuk data dalam tabel di atas telah diperoleh  = 76,62 ; U = 75,37 dan H = 73,94. Sehingga terdapat hubungan H < U < . Secara umum berlaku:

H U

D.      MODUS

   Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran modus disingkat Mo.

Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi,modusnya dapat ditentukan dengan rumus:

Mo = b + )

Keterangan :

·         b  = batas bawah kelas modus,ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak,

·         p  = panjang kelasmodus

·         b₁ = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas

        yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus,

·         b₂ = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda

       kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus,

Contoh :

NILAI UJIAN	fi
31-40	1
41-50	2
51-60	5
61-70	15
71-80	25
81-90	20
91-100	12
Jumlah	80

Ø  Kelas modus = kelas kelima

Ø  b             = 70,5

Ø  b₁            = 25 – 15 = 10

Ø  b₂            = 25 – 20 = 5

Ø  p             = 10

Mo = 70,5 +

Mo = 77,17

E.        MEDIAN

   Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya. Kalau nilai medium sama dengan Me,maka 50% dari data harga-harganya paling tinggi sama dengan Me sedangkan 50% lagi harga-harganya paling rendah sama dengan Me.

   Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi,mediannya dihitung dengan rumus :

Me = b +

Keterangan  :

Ü  b  = batas bawah kelas median,ialah kelas dimana median terletak,

Ü  p  = panjang kelas median

Ü  n  = ukuran sampel atau banyak data,

Ü  F  = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median,

Ü  F  = frekuensi kelas median.

Contoh : Jika untuk nilai ujian 80 mahasiswa akan dihitung mediannya,dengan menggunakan daftar berikut kita tempuh hal di bawah ini.

NILAI UJIAN	fi
31-40	1
41-50	2
51-60	5
61-70	15
71-80	25
81-90	20
91-100	12
Jumlah	80

Setengah dari seluruh data ada 40 buah.                                           Jadi median akan terletak di kelas interval kelima,karena sampai dengan ini jumlah frekuensi sudah lebih dari 40.

Dari kelas median ini didapat :

b = 70,5 ; p = 10 dan f = 25                                                              Adapun F= 1 + 2 + 5 + 15 = 23,sehingga

Me = 70,5 +  

Me = 77,3

F.      Kuartil

Telah diketahui bahwa median membagi sekumpulan data yang diurutkan menjadi dua bagian yang sama. Sedangkan kuartil membagi sekumpulan data tersebut menjadi empat bagian yang sama banyak. Artinya terdapat tiga nilai yang akan menjadikan sekumpulan data menjadi empat bagian yang sama banyak. Nilainilai tersebut adalah kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).

b. Kuartil Data Kelompok

Pada penentuan median untuk data terkelompok, rumus yang digunakan adalah:

Telah diketahui bahwa Me = Q2. Dengan demikian menentukan kuartil kedua sama dengan menentukan median. Bagaimana dengan Q1 dan Q3? Jika diperhatikan pada rumus median memuat

Contoh 2.17

Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut.

Penyelesaian:

Untuk menentukan nilai Q1, Q2, dan Q3 dari data pada tabel di atas, terlebih dahulu buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif dari data tersebut. Selanjutnya ditentukan letak masing-masing kuartil yaitu Q1, Q2, dan Q3 beserta nilainya sebagai berikut. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari data tersebut adalah:

2. Desil

Seperti pada pengertian kuartil, desil adalah nilai-nilai yang membagi susunan data menjadi 10 bagian yang sama banyak. Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D1), desil ke-2 (D2), desil ke-3 (D3) dan seterusnya sampai D9.

Untuk menentukan desil digunakan rumus yang mirip rumus untuk menentukan kuartil, yaitu:

Dengan:

i = 1, 2, 3, …, 9

Tb = tepi bawah kelas yang mengandung Di

p = panjang kelas

n = cacah data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung Di fDi

= frekuensi kelas yang mengandung Di

Contoh 2.19

Tentukan D1, D5, dan D9 dari data berikut.

Penyelesaian:

Distribusi frekuensi kumulatif dari data tersebut adalah:

3. Persentil

Seperti halnya pada pengertian kuartil dan desil, persentil adalah nilai-nilai yang membagi susunan data menjadi 100 bagian yang sama banyaknya. Dengan demikian, nilai-nilai dari persentil ke-1 (P1 ), persentil ke-2 (P2), persentil ke-3 (P3) dan seterusnya sampai persentil ke-99 (P99 ).

Contoh 2.20

Tentukan P5, P20, dan P50 dari data dalam tabel berikut.

Penyelesaian:

Distribusi kumulatif dari data tersebut adalah

UKURAN SIMPANGAN

RENTANG, RENTANG ANTAR KUARTIL DAN SIMPANGAN KUARTIL

Ukuran variasi yang paling mudah ditentukan ialah rentang.

Rumus:

V(1) . . . . .     rentang = data terbesar – data terkecil

Contoh :

Untuk ke-80 data yang ada dengan data terbesar = 99 dan data terkecil = 35, maka rentangnya = 99 – 35 = 64.

Karena mudahnya dihitung, rentang ini bayak sekali digunakan dalam cabang lain dalam statistika, ialah statistika industry.

Rentang antar kuartil juga mudah ditentukan, dan ini merupakan selisih antara K₃ dan K₁.

Jadi, didapatlah hubungan:

V(2) . . . . . RAK = K₃ – K₁

Dengan : RAK        = rentang antar kuartil

                   K₃            = kuartil ketiga

                   K₁            = kuartil pertama

Contoh:

Daftar berikut menyatakan upah tiap jam untuk 65 pegawai di suatu pabrik.

Daftar V(1)

Upah (Rupiah)	fi
50,00 – 59,99 60,00 – 69,99 70,00 – 79,99 80,00 – 89,99 90,00 – 99,99 100,00 – 109,99 110,00 – 119,99	8 10 16 14 10 5 2
jumlah	65

Dengan Rumus IV (17), nilai – nillai K1 dan K3 dapat dihitung. Hasilnya

K1 = Rp 68,25 dan

K2 = Rp 90,75

Dari Rumus V(2), maka

RAK = Rp 22,50

Ditafsirkan bahwa 50% dari data, nilainya paling rendah 68,25 dan paling tinggi 90,75 dengan perbedaan paling tinggi 22,50.

Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut pula rentang semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil. Jadi, jika simpangan kuartil disingkat dengan SK, maka:

V(3) . . . . .      SK = ½(K3 – K1)

Contoh:

Dari Daftar V(1), jelas didapat:

SK = ½(Rp 90,75 – Rp 68,25) = Rp 11,25

Selanjutnya, karena ½(K3 + K1) = Rp 79,50, maka 50% dari pegawai mendapat upah terletak dalam interval Rp 79,50 ± Rp 11,25 atau antara Rp 68,25 dan Rp 90,75.

RATA-RATA SIMPANGAN

Misalkan data hasil pengamatan berbentuk x₁, x₂, . . . , x_n dengan rata-rata x. Selanjutnya, kita tentukan jarak antara tiap data dengan rata-rata x. Jarak ini, dalam symbol ditulis |x_i - x | (baca: harga mutlak dari selisih xi dengan x). Dengan |a |sama dengan a jika a positif, sama dengan –a jika a negative dan nol jika a = 0. Jadi, harga mutlak, selalu memberikan tanda positif, karena inilah |x_i - x | disebut jarak antara x_i dan x. jika sekarang jaraj-jarak:

|x₁ - x |, |x₂ - x |, . . . , |x_n - x | dijumlahkan, lalu dibagi oleh n, maka diperoleh satuan yang disebut  rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi.

Rumusnya adalah:

V(4) . . . . .      RS =

Dengan RS berarti = rata-rata simpangan.

Untuk menjelaskan rumus V(4) diberikan sebuah contoh berikut:

xi	Xi - x	|xi - x |
8 7 10 11	-1 -2 1 2	1 2 1 2

Dari data di atas, jika dihitung, rata-ratanya = 9.

Jumlah harga mutlaknya, yaitu jumlah bilangan-bilangan dalam kolom akhir, adalah 6.

Maka RS =  = 1

4. Simpangan Baku

   Simpangan baku disebut juga standar deviasi merupakan ukuran penyimpangan yang paling sering dipakai. Simpangan baku diberi symbol s untuk sample dan s (baca: sigma) untuk populasi.

   Kuadrat dari simpangan baku disebut varians. Di sini tentulah s² untuk smpel dan s² untuk populasi. s dan s² merupakan statistik dan s dan s² parameter.

   Untuk data tunggal varians dihitung sebagai:

Untuk data distribusi frekuensi, varians dapat dihitung sebagai

Contoh:

Diberikan data distribusi sebagai berikut

Nilai Ujian	fi
31-40	1
41-50	2
51-60	5
61-70	15
71-80	25
81-90	20
91-100	12
Jumlah	80

Tentukan varian dan simpanan baku data tersebut!

Jawab:

Dengan membuat table sebagai berikut.

Nilai Ujian	fi	xi	xi2	fi xi	fi xi2	(xi–x)	(xi–x)2	fi(xi–x)2
31-40	1	35,5	1260,25	35,5	1260,25	-41,1	1689,21	1.689,21
41-50	2	45,5	2070,25	91	4.140,5	-31,1	967,21	1.834,42
51-60	5	55,5	3080,25	277,5	15.401,25	-21,1	445,21	2.226,05
61-70	15	65,5	4290,25	982,5	64.353,75	-11,1	123,21	1.848,15
71-80	25	75,5	5700,25	1887,5	142.506,25	-1,1	1,21	30,25
81-90	20	85,5	7310,25	1710	146.205	8,9	79,21	1.584,20
91-100	12	95,5	9120,25	1146	109.443	18,9	357,21	4.286,52
Jumlah	80			6130	483.310			13.498,8

Diperoleh:

Varian

 S = 13,07

 Atau dengan mengunakan formula ketiga dengan mengacu pada table di bawah ini, diperoleh:

Nilai Ujian	fi	xi	ci	ci2	fi ci	fi ci2
31-40	1	35,5	-4	16	-4	16
41-50	2	45,5	-3	9	-6	18
51-60	5	55,5	-2	4	-10	20
61-70	15	65,5	-1	1	-15	15
71-80	25	75,5	0	0	0	0
81-90	20	85,5	1	1	20	20
91-100	12	95,5	2	4	24	48
Jumlah	80				9	137

Varian

 = 172,1

   Sebagaimana halnya dalam rata-rata kita dapat menghitung rata-rata gabungan, maka unyuk simpangan baku pun kita data menentkan simpangan baku gabungan. Simpangan baku gabungan dihitung dengan rumus:

Dengan s² berarti varians gabungan untuk sampel yang berukuran n dan k menyatakan banyaknya subsample.

5. Bilangan Baku dan Koefisien Variasi

   jika kita mempunyai smapel berukuran n dengan data dari x₁ sampai dengan x_n dan rata-ratanya adalah x dan simpangan baku s, maka kita dapat membentuk data baru dai z₁ smapai dengan z_n­ denag rumus

                             untuk i=1,2,3,........,n.

   bilangan yang didapat dinamakan bilangan z. variable z₁ sampai dengan z_n ternyata mempunyai rata-rata 0 dan simpangan baku 1.

   Dalam penggunaannya, bilangan z ini sering diubah menjadi keadaan atau model baru, atau tepatnya distribusi baru yang mempunyai rata-rata x₀ dan simpangan baku s₀ yang ditentukan. Bilangan yang diperoleh dengan cara ini dinamakan bilangan baku atau bilangan standar dengan rata-rata x_{0 ­}dan simpangan baku s₀ dengan rumus

Perhatikan bahwa, untuk x0 = 0 dan s0 = 1 maka rumus akan menjadi rumus sebelumnya.

   Bilangan baku sering untuk membandingkan distribusi fenomena.

Contoh:

Seorang mahasisiwa mendapat nilai 86 pada ujian akhir matematika dimana nilai rata-rata dan simpngan baku kelompok masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir statistika, ia mendapat nilai 92 dimana rata-rata kelompok dan simpangannya masing-masing 84 dan 18. dalam mata ujian mana ia mendapat kedudukan yang lebih baik?

Jawab:

Untuk matematika

Untuk statistika

Berdasarkan nilai z maka mahasiswa tersebut lebih unggul dalam matematika.

   Ukuran variasi atau dispersi yang dibahas pada bagian sebelumnya merupakan dispersi absolut. Variari 5cm untuk ukuran jarak 100m dan variasi 5cm untuk jarak 20m jelas mempunyai pengaruh yang berlainan. Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan dispersi relatif yang ditentukan oleh:

   Jika untuk dispersi absolut diambil simpangan baju, maka didapat koefisien variasi, disingkat KV. Rumusnya dinyatakan dlam persen, berbentuk:

Koefisien variasi tidak bergantung pada satuan yang digunakan, karenanya dapat digunakan untuk membandingkan variasi relatif beberapa kumpulan data dengan satuan yang berbeda.

Contoh:

Semacam lampu electron rata-rata dapat dipakai selam 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu model lain rata-ratanya 10.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam.

Jawab: